等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)

等比數(shù)列是指一個(gè)數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)的比值都相等的數(shù)列，這個(gè)比值被稱為等比數(shù)列的公比，通常用字母 \( r \) 表示。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是 \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)，其中 \( a_n \) 是第 \( n \) 項(xiàng)，\( a_1 \) 是首項(xiàng)。

等比數(shù)列前 \( n \) 項(xiàng)和的公式推導(dǎo)可以通過(guò)錯(cuò)位相減法來(lái)完成，下面是一個(gè)簡(jiǎn)化的推導(dǎo)過(guò)程：

1. 假設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為 \( a_1 \)，公比為 \( r \)，則該數(shù)列的前 \( n \) 項(xiàng)和 \( S_n \) 可以表示為：

\[ S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \ldots + a_1r^{n-1} \]

2. 將 \( S_n \) 乘以公比 \( r \) 得到：

\[ rS_n = a_1r + a_1r^2 + a_1r^3 + \ldots + a_1r^n \]

3. 將原始的 \( S_n \) 和 \( rS_n \) 相減，得到：

\[ S_n - rS_n = a_1 - a_1r^n \]

4. 簡(jiǎn)化上式，得到：

\[ S_n(1 - r) = a_1(1 - r^n) \]

5. 當(dāng) \( r \neq 1 \) 時(shí)，可以將 \( S_n \) 單獨(dú)解出：

\[ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \]

6. 當(dāng) \( r = 1 \) 時(shí)，數(shù)列的每一項(xiàng)都相等，前 \( n \) 項(xiàng)和簡(jiǎn)化為：

\[ S_n = na_1 \]

所以，等比數(shù)列前 \( n \) 項(xiàng)和的公式為：

\[ S_n = \begin{cases}

na_1 & \text{if } r = 1 \\

\frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} & \text{if } r \neq 1

\end{cases} \]

這個(gè)公式可以用來(lái)計(jì)算任何等比數(shù)列的前 \( n \) 項(xiàng)和，只要知道首項(xiàng) \( a_1 \) 和公比 \( r \)。

等比數(shù)列公式大全圖片

等比數(shù)列的公式是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，以下是等比數(shù)列的一些基本公式，這些信息主要來(lái)源于您提供的網(wǎng)上：

1. 定義式：一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就是等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比，記作 \( r \)。

2. 通項(xiàng)公式：等比數(shù)列的第 \( n \) 項(xiàng)可以表示為 \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)，其中 \( a_1 \) 是數(shù)列的第一項(xiàng)，\( r \) 是公比，\( n \) 是項(xiàng)數(shù)。

3. 求和公式：

- 當(dāng)公比 \( r \neq 1 \) 時(shí)，前 \( n \) 項(xiàng)和 \( S_n \) 可以表示為 \( S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \)。

- 當(dāng)公比 \( r = 1 \) 時(shí)，前 \( n \) 項(xiàng)和 \( S_n \) 為 \( S_n = n \cdot a_1 \)。

4. 等比中項(xiàng)：如果存在一個(gè)數(shù) \( G \) 滿足 \( G^2 = a \cdot b \)，則 \( G \) 是 \( a \) 和 \( b \) 的等比中項(xiàng)。

5. 無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和：對(duì)于公比的絕對(duì)值小于 1 的無(wú)窮等比數(shù)列，其和 \( S \) 可以表示為 \( S = \frac{a_1}{1 - r} \)。

6. 性質(zhì)：

- 在等比數(shù)列中，若 \( m, n, p, q \in N^* \) 且 \( m + n = p + q \)，則 \( a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q \)。

- 一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的，即它們有相似的性質(zhì)。

7. 應(yīng)用：等比數(shù)列在實(shí)際生活中有廣泛應(yīng)用，例如銀行的復(fù)利計(jì)算，公式為 \( 本利和 = 本金 \times (1 + 利率)^{存期} \)。

上述公式中的 \( a_n \) 表示等比數(shù)列的第 \( n \) 項(xiàng)，\( a_1 \) 表示等比數(shù)列的第一項(xiàng)，\( r \) 表示公比，\( n \) 表示項(xiàng)數(shù)。這些信息綜合了您提供的網(wǎng)上中的等比數(shù)列公式。如果您需要更詳細(xì)的解釋或有其他問(wèn)題，請(qǐng)告知。

等比數(shù)列基本的5個(gè)公式

等比數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一種數(shù)列，其中每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的常數(shù)倍，這個(gè)常數(shù)被稱為等比數(shù)列的公比。等比數(shù)列的基本公式通常包括以下幾個(gè)：

1. 通項(xiàng)公式：\[a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\]

其中，\(a_n\) 是第 \(n\) 項(xiàng)，\(a_1\) 是首項(xiàng)，\(r\) 是公比，\(n\) 是項(xiàng)數(shù)。

2. 求和公式（前 \(n\) 項(xiàng)和）：\[S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\]

當(dāng) \(r \neq 1\) 時(shí)，等比數(shù)列的前 \(n\) 項(xiàng)和 \(S_n\) 可以用此公式計(jì)算。

3. 無(wú)窮等比數(shù)列求和公式（當(dāng) \(|r| < 1\)）：\[S = \frac{a_1}{1 - r}\]

對(duì)于無(wú)窮等比數(shù)列，如果公比 \(r\) 的絕對(duì)值小于 1，則數(shù)列的和 \(S\) 可以用此公式計(jì)算。

4. 等比中項(xiàng)公式：如果 \(x\) 和 \(y\) 成等比關(guān)系，即 \(x = y \cdot r\)，則 \(z\) 為 \(x\) 和 \(y\) 的等比中項(xiàng)，滿足 \(z^2 = xy\)。

5. 等比數(shù)列的性質(zhì)：

- 相鄰項(xiàng)的比值相等：\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = r\]

- 對(duì)于任意正整數(shù) \(k\)，有 \(a_{n+k} = a_n \cdot r^k\)

這些公式是解決等比數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ)，可以用于計(jì)算數(shù)列的各項(xiàng)以及數(shù)列的和。