arctanx的積分
函數(shù) \(\arctan(x)\) 的不定積分可以通過積分的部分積分法來計(jì)算。部分積分法的公式是：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
對(duì)于 \(\arctan(x)\) 的積分，我們可以選擇 \(u = \arctan(x)\) 和 \(dv = dx\)。接下來，我們需要計(jì)算 \(du\) 和 \(v\)：
- \(du = \frac{1}{1+x^2} \, dx\)（因?yàn)?\(\fracdrfrljtdf{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2}\)）
- \(v = \int dx = x\)
現(xiàn)在，我們可以應(yīng)用部分積分法：
\[
\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx
\]
接下來，我們需要計(jì)算 \(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\)。這個(gè)積分可以通過長(zhǎng)除法或者通過識(shí)別它是一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)函數(shù)的變體來解決：
\[
\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
最終的積分結(jié)果是：
\[
\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
其中 \(C\) 是積分常數(shù)。
∫arctanxdx的詳解
積分 \(\int \arctan x \, dx\) 是一個(gè)常見的不定積分問題。我們可以通過部分積分法來求解它。部分積分法的公式是：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
對(duì)于 \(\int \arctan x \, dx\)，我們可以選擇 \(u = \arctan x\) 和 \(dv = dx\)。接下來，我們需要計(jì)算 \(du\) 和 \(v\)：
1. \(u = \arctan x\)，所以 \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\)。
2. \(dv = dx\)，所以 \(v = x\)。
現(xiàn)在我們可以應(yīng)用部分積分法：
\[
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx
\]
接下來，我們需要計(jì)算 \(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\)。這個(gè)積分可以通過長(zhǎng)除法或者識(shí)別它是一個(gè)簡(jiǎn)單的有理函數(shù)來解決。這個(gè)積分的結(jié)果是：
\[
\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln |1+x^2|
\]
原積分可以寫為：
\[
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
其中 \(C\) 是積分常數(shù)。這就是 \(\int \arctan x \, dx\) 的詳解。
∫arctantdt等于什么
積分 \(\int \arctan(t) \, dt\) 可以通過部分積分法來計(jì)算。設(shè) \(u = \arctan(t)\) 并且 \(dv = dt\)，則 \(du = \frac{1}{1+t^2} \, dt\) 并且 \(v = t\)。應(yīng)用部分積分法：
\[
\int \arctan(t) \, dt = t \arctan(t) - \int \frac{t}{1+t^2} \, dt
\]
接下來，我們計(jì)算 \(\int \frac{t}{1+t^2} \, dt\)。這個(gè)積分可以通過長(zhǎng)除法或者識(shí)別它為 \(\frac{1}{2} \ln(1+t^2)\) 的導(dǎo)數(shù)來解決。我們有：
\[
\int \frac{t}{1+t^2} \, dt = \frac{1}{2} \ln(1+t^2) + C
\]
其中 \(C\) 是積分常數(shù)。將這個(gè)結(jié)果代入上面的部分積分公式中，我們得到：
\[
\int \arctan(t) \, dt = t \arctan(t) - \frac{1}{2} \ln(1+t^2) + C
\]
這就是 \(\int \arctan(t) \, dt\) 的積分結(jié)果。
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