高階導(dǎo)數(shù)十個(gè)常用公式

高階導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)重要概念，它描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率的變化率。以下是一些常用的高階導(dǎo)數(shù)公式：

1. 冪函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：

\[ (x^n)^{(n)} = n! \cdot x^{n-n} = n! \]

其中 \( n! \) 表示 \( n \) 的階乘，即 \( n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1 \)。

2. 三角函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：

- \( \sin(x) \) 的高階導(dǎo)數(shù)：

\[ \sin^{(n)}(x) = \cos((2k-n)x) \text{ 當(dāng) } n = 2k \]

\[ \sin^{(n)}(x) = -\sin((2k+1-n)x) \text{ 當(dāng) } n = 2k+1 \]

- \( \cos(x) \) 的高階導(dǎo)數(shù)：

\[ \cos^{(n)}(x) = -\sin((2k-n)x) \text{ 當(dāng) } n = 2k \]

\[ \cos^{(n)}(x) = \sin((2k+1-n)x) \text{ 當(dāng) } n = 2k+1 \]

3. 指數(shù)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：

\[ (e^x)^{(n)} = e^x \]

指數(shù)函數(shù)的所有階導(dǎo)數(shù)都是它本身。

4. 對數(shù)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：

\[ (\ln(x))^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(1-x)^{n-1}}{x^n} \text{ 當(dāng) } x > 0 \]

5. 雙曲函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：

- \( \sinh(x) \) 的高階導(dǎo)數(shù)：

\[ \sinh^{(n)}(x) = \cosh((2k-n)x) \text{ 當(dāng) } n = 2k \]

\[ \sinh^{(n)}(x) = \sinh((2k+1-n)x) \text{ 當(dāng) } n = 2k+1 \]

- \( \cosh(x) \) 的高階導(dǎo)數(shù)：

\[ \cosh^{(n)}(x) = \sinh((2k-n)x) \text{ 當(dāng) } n = 2k \]

\[ \cosh^{(n)}(x) = \cosh((2k+1-n)x) \text{ 當(dāng) } n = 2k+1 \]

6. 乘積的高階導(dǎo)數(shù)（萊布尼茨公式）：

\[ (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} (f^{(k)}g^{(n-k)}) \]

其中 \( f \) 和 \( g \) 是可導(dǎo)函數(shù)。

7. 商的高階導(dǎo)數(shù)（商規(guī)則的推廣）：

\[ \left(\frac{f}{g}\right)^{(n)} = \frac{P_n(f, g)}{g^{n+1}} \]

其中 \( P_n(f, g) \) 是 \( f \) 和 \( g \) 及其導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式。

8. 鏈?zhǔn)椒▌t的高階導(dǎo)數(shù)：

\[ (f(g(x)))^{(n)} = \sum_{k=1}^{n} f^{(k)}(g(x)) \cdot g^{(n-k)}(x) \]

其中 \( f \) 和 \( g \) 是可導(dǎo)函數(shù)。

這些公式是高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)，可以幫助解決更復(fù)雜的微積分問題。

6種常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

在數(shù)學(xué)中，高階導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也就是多次求導(dǎo)。以下是六種常見函數(shù)及其高階導(dǎo)數(shù)的一般形式：

1. 常數(shù)函數(shù) \( f(x) = c \)（其中 \( c \) 是常數(shù)）

- 任何階導(dǎo)數(shù)都是 0。

2. 冪函數(shù) \( f(x) = x^n \)（其中 \( n \) 是實(shí)數(shù)）

- 一階導(dǎo)數(shù)：\( f'(x) = nx^{n-1} \)

- 高階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)x^{n-k} \)，其中 \( k \) 是導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。

3. 指數(shù)函數(shù) \( f(x) = e^x \)

- 所有階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = e^x \)

4. 對數(shù)函數(shù) \( f(x) = \ln(x) \)（自然對數(shù)）

- 一階導(dǎo)數(shù)：\( f'(x) = 1/x \)

- 高階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \)

5. 三角函數(shù) \( \sin(x) \) 和 \( \cos(x) \)

- \( \sin(x) \) 的一階導(dǎo)數(shù)：\( \cos(x) \)

- \( \cos(x) \) 的一階導(dǎo)數(shù)：\( -\sin(x) \)

- 高階導(dǎo)數(shù)：\( \sin(x) \) 和 \( \cos(x) \) 的高階導(dǎo)數(shù)會交替出現(xiàn)，每4次導(dǎo)數(shù)后重復(fù)。

6. 雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù) \( \sinh(x) \) 和 \( \cosh(x) \)

- \( \sinh(x) \) 的一階導(dǎo)數(shù)：\( \cosh(x) \)

- \( \cosh(x) \) 的一階導(dǎo)數(shù)：\( \sinh(x) \)

- 高階導(dǎo)數(shù)：\( \sinh(x) \) 和 \( \cosh(x) \) 的高階導(dǎo)數(shù)會交替出現(xiàn)，每4次導(dǎo)數(shù)后重復(fù)。

這些是基本函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的一般形式。對于更復(fù)雜的函數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)可以通過復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)規(guī)則來計(jì)算。

n階導(dǎo)數(shù)公式大全

在數(shù)學(xué)中，n階導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)求n次的結(jié)果。以下是一些基本函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式：

1. 常數(shù)函數(shù) \( f(x) = c \)：

- \( f'(x) = 0 \)（一階導(dǎo)數(shù)）

- 對于所有 \( n > 1 \)，\( f^{(n)}(x) = 0 \)

2. 冪函數(shù) \( f(x) = x^n \)（\( n \) 是實(shí)數(shù)）：

- \( f^{(n)}(x) = n! \cdot x^{n-n} = n! \) 當(dāng) \( x = 0 \) 時(shí)，\( n > 1 \) 的情況除外。

3. 指數(shù)函數(shù) \( f(x) = a^x \)（\( a > 0, a \neq 1 \)）：

- \( f^{(n)}(x) = a^x \ln(a)^n \)

4. 對數(shù)函數(shù) \( f(x) = \ln(x) \)（\( x > 0 \)）：

- \( f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \)

5. 三角函數(shù)：

- \( \sin(x) \) 的n階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = \sin(x + n\pi/2) \) 或 \( (-1)^{k} \cos(x) \) 當(dāng) \( n = 2k+1 \)，\( (-1)^{k} \sin(x) \) 當(dāng) \( n = 2k \)

- \( \cos(x) \) 的n階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = \cos(x - n\pi/2) \) 或 \( (-1)^{k} \sin(x) \) 當(dāng) \( n = 2k+1 \)，\( (-1)^{k+1} \cos(x) \) 當(dāng) \( n = 2k \)

6. 反三角函數(shù)：

- \( \arcsin(x) \) 的n階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = \frac{P_n(x)}{1-x^2} \)，其中 \( P_n(x) \) 是 \( x \) 的多項(xiàng)式。

- \( \arccos(x) \) 的n階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} \frac{Q_n(x)}{1-x^2} \)，其中 \( Q_n(x) \) 是 \( x \) 的多項(xiàng)式。

7. 正割函數(shù) \( \sec(x) \) 和余割函數(shù) \( \csc(x) \)：

- \( \sec(x) \) 的n階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = \sec(x)\tan(x) \cdot f^{(n-1)}(\tan(x)) \)

- \( \csc(x) \) 的n階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = -\csc(x)\cot(x) \cdot f^{(n-1)}(\cot(x)) \)

8. 雙曲正弦和余弦函數(shù) \( \sinh(x) \) 和 \( \cosh(x) \)：

- \( \sinh(x) \) 的n階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = \cosh(x) \) 當(dāng) \( n \) 是奇數(shù)，\( \sinh(x) \) 當(dāng) \( n \) 是偶數(shù)。

- \( \cosh(x) \) 的n階導(dǎo)數(shù)：\( f^{(n)}(x) = \sinh(x) \) 當(dāng) \( n \) 是奇數(shù)，\( \cosh(x) \) 當(dāng) \( n \) 是偶數(shù)。

這些是一些基本函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式。對于更復(fù)雜的函數(shù)，n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可能需要使用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，如乘積法則、商法則、鏈?zhǔn)椒▌t等。如果你需要更具體的函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式，可以提供具體的函數(shù)形式，我可以幫助你計(jì)算。